Question

設(shè)橢圓E：-=1（a＞b＞0）的離心率為，已知A（a，0），B（0，-b），且原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為
（Ⅰ）  求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)M（1，0）的直線(xiàn)交橢圓E于C，D兩點(diǎn)，若存在動(dòng)點(diǎn)N，使得直線(xiàn)NC，NM，ND的斜率依次成等差數(shù)列，試確定點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由e=可得a，b之間的關(guān)系，由已知可求知直線(xiàn)AB的方程為x-yb=0，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，從而可求a，b，進(jìn)而可求橢圓的方程
（II）可先設(shè)直線(xiàn)CD的方程為x=ky+1，聯(lián)立方程可得（k²+2）y²+2ky-3=0，設(shè)N（x，y）
K_NC+K_ND===，整理可求
解答：解：（I）由得（2分）
由點(diǎn)A（a，0），B（0，-b）知直線(xiàn)AB的方程為x-yb=0
因此，b=2，a=（4分）
橢圓方程為（5分）
（II）設(shè)直線(xiàn)CD的方程為x=ky+1
聯(lián)立方程可得（k²+2）y²+2ky-3=0
故（7分）設(shè)N（x，y）
K_NC+K_ND==

==（10分）
6+2（1-x）=0可得x=4（13分）
代入①可得，回代②可得，由此說(shuō)明N的軌跡為直線(xiàn)x=4（15分）
6+2（1-x）=0可得x=4（13分）
代入①可得，回代②可得，由此說(shuō)明N的軌跡為直線(xiàn)x=4（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線(xiàn)與橢圓相交關(guān)系的轉(zhuǎn)化及方程思想的應(yīng)用，本題的難點(diǎn)是圓錐曲線(xiàn)與直線(xiàn)聯(lián)立中方程的求解中的計(jì)算．