Question

（2011•泉州模擬）如圖，已知三角形ABC的三邊AB=4，AC=5，BC=3，橢圓M以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（Ⅰ）建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)線段AB的中點(diǎn)的直線l交橢圓M于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，試求

AE

•

BF

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓M的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由2a=AC+BC=8，2c=AB=4，能導(dǎo)出橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）解法一：直線l經(jīng)過(guò)橢圓的中心，設(shè)E（x₀，y₀），F(xiàn)（-x₀，-y₀），則　

x02

16

+

y02

12

=1，y02=12-

3

4

x02，由A（-2，0），B（2，0），

AE

=(x0+2，y0)，

BF

=(-x0-2，-y0)，

AE

•

BF

=-(x0+2)2-y02=-

1

4

(x0+8)2，由此能求出

AE

•

BF

的取值范圍．
解法二：由橢圓的性質(zhì)得 

OA

=-

OB

，

OE

=-

OF

，

AE

=

OE

-

OA

=-(

OF

-

OB

)=-

BF

，

AE

•

BF

=-|

AE

|2．由此能求出

AE

•

BF

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）如圖，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，由已知設(shè)橢圓M的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，根據(jù)定義2a=AC+BC=8，2c=AB=4，b²=a²-c²，b＞0a=4，c=2，b=2

3

∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）解法一：直線l經(jīng)過(guò)橢圓的中心，設(shè)E（x₀，y₀），F(xiàn)（-x₀，-y₀），
則　

x02

16

+

y02

12

=1，y02=12-

3

4

x02
又A（-2，0），B（2，0），
∴

AE

=(x0+2，y0)，

BF

=(-x0-2，-y0)
∴

AE

•

BF

=-(x0+2)2-y02=-(x0+2)2-(12-

3

4

x02)=-

1

4

(x0+8)2
由橢圓的性質(zhì)得-4≤x₀≤4
∴-36≤-

1

4

(x0+8)2≤-4
∴

AE

•

BF

的取值范圍是[-36，-4]．
解法二：由橢圓的性質(zhì)得 

OA

=-

OB

，

OE

=-

OF

∴

AE

=

OE

-

OA

=-(

OF

-

OB

)=-

BF

∴

AE

•

BF

=-|

AE

|2．
又A是橢圓M的焦點(diǎn)．點(diǎn)E在橢圓M上a-c≤|

AE

|≤a+c，即2≤|

AE

|≤6，-36≤-|

AE

|2≤-4
∴

AE

•

BF

的取值范圍是[-36，-4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，求

AE

•

BF

的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．