Question

若F₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個焦點，過F₂的直線交橢圓于P，Q兩點，PF₁⊥PQ，且4|PF₁|=3|PQ|，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：如圖所示，設|QF₂|=m，|PF₂|=n，利用橢圓的定義可得|QF₁|=2a-m，|PF₁|=2a-n．由4|PF₁|=3|PQ|，可得4（2a-n）=3（m+n）．由PF₁⊥PQ，利用勾股定理可得：（2a-n）²+n²=4c²，（2a-n）²+（m+n）²=（2a-m）²．
聯(lián)立解得即可．

解答： 解：如圖所示，
設|QF₂|=m，|PF₂|=n，則|QF₁|=2a-m，|PF₁|=2a-n．
∵4|PF₁|=3|PQ|，∴4（2a-n）=3（m+n），
∵PF₁⊥PQ，
∴（2a-n）²+n²=4c²，
（2a-n）²+（m+n）²=（2a-m）²．
聯(lián)立

4(2a-n)=3(n+m) (2a-n)2+n2=4c2 (2a-n)2+(m+n)2=(2a-m)2

，化為n=a，代入可得a²=2c²．
解得e=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：本題考查了橢圓的定義及其性質、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．