Question

（2013•湖北）已知函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A．（-∞，0）
• B．（0，

  1

  2

  ）
• C．（0，1）
• D．（0，+∞）

Answer 1

分析：先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx-2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象．由圖可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：函數(shù)f（x）=x（lnx-ax），則f′（x）=lnx-ax+x（

1

x

-a）=lnx-2ax+1，
令f′（x）=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1，
函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx-2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，
等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，直線y=2ax-1與y=lnx的圖象相切，
由圖可知，當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，y=lnx與y=2ax-1的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，

1

2

）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷．