Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2a_n-2，數(shù)列{b_n}滿足{b_n}=log₂a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記{

1

bn•bn+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n；
（3）若不等式λ²-

3

2

λ＞T_n對任意n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a_n=2a_n-1，從而得到a_n=2•2^n-1=2ⁿ.bn=log2an=log22n=n．
（2）由

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和法能求出{

1

bn•bn+1

}的前n項(xiàng)和為T_n．
（3）Tn=1-

1

n+1

＞1，由此得到λ²-

3

2

λ＞1，從而能求出λ的取值范圍．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）
∴a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
bn=log2an=log22n=n．
（2）

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）∵Tn=1-

1

n+1

，∴T_n單調(diào)遞增，
當(dāng)n=1時(shí)，T_n有最小值（T_n）_min=1-

1

1+1

=

1

2

，
∵Tn=1-

1

n+1

＞1，
∴不等式λ²-

3

2

λ＞T_n對任意n∈N^*恒成立，
等價(jià)于不等式λ²-

3

2

λ＞1，
解得-

1

2

＜λ＜2，
∴λ的取值范圍是（-

1

2

，2）．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．