Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，其右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為T，過橢圓的上頂點(diǎn)A作橢圓的右準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D，四邊形AF₁F₂D為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)線段F₂D與橢圓交于點(diǎn)M，是否存在實(shí)數(shù)λ，使

TA

=λ

TM

？若存在，求出實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若B是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，且△AF₂B外接圓面積的最小值是4π，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）由AD=F₁F₂得到a與c的關(guān)系

a2

c

=2c進(jìn)而得到e=

2

2

．
（2）得到a，b，c的關(guān)系且設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)可得

TA

=(-2c，c)，直線F₂D的方程是x-y-c=0聯(lián)立直線與橢圓的方程得M(

4

3

c，

1

3

c)，進(jìn)而得到

TA

=3

TM

．
（3）設(shè)圓心N的坐標(biāo)為（n，n），圓過準(zhǔn)線上一點(diǎn)B，則圓與準(zhǔn)線有公共點(diǎn)所以

(n-c)2+n2

≥|n-2c|可得n≤-3c或n≥c又r2=(n-c)2+n2=2(n-

c

2

)2+

c2

2

∈[c2，+∞)
（πr²）_min=c²π=4π，則c²=4．

解答：解：（1）依題意：AD=F₁F₂，即

a2

c

=2c，
所以離心率e=

2

2

．
（2）由（Ⅰ）知：a=

2

c，b=c，
故A（0，c），D（2c，c），F(xiàn)₂（c，0），T（2c，0），

TA

=(-2c，c)
所以橢圓方程是

x2

2c2

+

y2

c2

=1，即x²+2y²=2c²，
直線F₂D的方程是x-y-c=0
由，{

x2+2y2=2c2 x-y-c=0

解得：，{

x=0 y=-c

（舍去）或，{

x= 4 3 c y= 1 3 c

即M(

4

3

c，

1

3

c)，

TM

=(-

2

3

c，

1

3

c)，所以

TA

=3

TM

，
即存在λ=3使

TA

=3

TM

成立．
（3）由題可知圓心N在直線y=x上，設(shè)圓心N的坐標(biāo)為（n，n），
因圓過準(zhǔn)線上一點(diǎn)B，則圓與準(zhǔn)線有公共點(diǎn)，
設(shè)圓心N到準(zhǔn)線的距離為d，則NF₂≥d，即

(n-c)2+n2

≥|n-2c|，
解得：n≤-3c或n≥c，
又r2=(n-c)2+n2=2(n-

c

2

)2+

c2

2

∈[c2，+∞)
由題可知，（πr²）_min=c²π=4π，則c²=4，
故橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題的重點(diǎn)是依向量為載體考查直線與圓錐曲線的相交問題，即聯(lián)立直線橢圓的方程求解即可，還考查了焦點(diǎn)三角形面積的知識(shí)點(diǎn)，這些都是高考的重點(diǎn)內(nèi)容．