Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n＝4a_n－3(n∈N^*)．

(1)證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列{b_n}滿足b_n＋1＝a_n＋b_n(n∈N^*)，且b₁＝2，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

解：(1)證明：依題意S_n＝4a_n－3(n∈N^*)，

n＝1時，a₁＝4a₁－3，解得a₁＝1.

因為S_n＝4a_n－3，則S_n－1＝4a_n－1－3(n≥2)，

所以當(dāng)n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝4a_n－4a_n－1，

整理得a_n＝a_n－1.

又a₁＝1≠0，所以{a_n}是首項為1，

公比為的等比數(shù)列．

(2)因為a_n＝^n－1，

由b_n＋1＝a_n＋b_n(n∈N^*)，

得b_n＋1－b_n＝^n－1.

可得b_n＝b₁＋(b₂－b₁)＋(b₃－b₂)＋…＋

(b_n－b_n－1)

＝2＋＝3·^n－1－1(n≥2)，

當(dāng)n＝1時也滿足，

所以數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n＝3·^n－1－1.