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16.定義在(0,+∞)上的增函數(shù)f(x)滿足條件:f(xy)=f(x)f(y)對所有正實數(shù)x,y均成立,且f(2)=4.
(1)求f(1)和f(8)的值;
(2)解關于x的不等式:16f(1x3)≥f(2x+1).

分析 (1)利用賦值法,代入計算求f(1)和f(8)的值;
(2)由(1)把16f(1x3)≥f(2x+1)轉化為f(4x3)≥f(2x+1),再由f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),可得{4x302x+104x32x+1,求解不等式組得答案.

解答 解:(1)∵f(xy)=f(x)f(y),∴f(1×2)=f(1)f(2),
∵f(2)=4,∴f(1)=1,
f(4)=f(2)f(2)=16,f(8)=f(2)f(4)=64;
(2)由16f(1x3)≥f(2x+1),得f(4)f(1x3)≥f(2x+1),
即f(4x3)≥f(2x+1),
∵f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),
{4x302x+104x32x+1,即{x32x25x70,
解得:3<x≤72
∴不等式:16f(1x3)≥f(2x+1)的解集為(3,72].

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應用,考查了數(shù)學轉化思想方法,是中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

10.已知過定點P(2,0)的直線l與曲線y=2x2相交于A、B兩點,O為坐標原點,當△AOB的面積取最大時,直線的傾斜角可以是:①30°;②45°;③60°;④120°⑤150°.其中正確答案的序號是⑤.(寫出所有正確答案的序號)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

7.如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,AB+CD+EF=( �。�
A.0B.BE
C.CFD.以上答案都不正確

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4.給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導,即f′(x)存在,且導函數(shù)f′(x)在D上也可導,則稱f(x)在D上存在二階導函數(shù),記f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在0π2上是凸函數(shù)的是①③④.
①f(x)=sinx+cosx②f(x)=-xe-x③f(x)=lnx-2x④f(x)=-x3+2x-1.

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11.若實數(shù)x,y滿足(x+5)2+(y-12)2=16,則x2+y2的最小值81.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

1.已知fx=sin2x+π6+12
(1)用五點法完成下列表格,并畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間[π1211π12]上的簡圖;
(2)若x[π6π3],函數(shù)g(x)=f(x)+m的最小值為2,試求處函數(shù)g(x)的最大值,指出x取值時,函數(shù)g(x)取得最大值.
x     
 2x+π6     
 sin(2x+π6     
 f(x)     

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

8.已知一條光線自點M(2,1)射出,經(jīng)x軸反射后經(jīng)過點N(4,5),則反射光線所在的直線方程是(  )
A.3x+y+5=0B.2x-y-3=0C.3x-y-7=0D.3x-y-5=0

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5.下列函數(shù)中,最小正周期為π的是(  )
A.y=sin|x|B.y=|sinx|C.y=sinx2D.y=cosx4

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6.已知函數(shù)f(x)的定義域[-1,5],部分對應值如表,f(x)的導函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,
 x-10245
f(x)141.541
下列關于函數(shù)f(x)的命題:
①函數(shù)f(x)的值域為[1,4];
②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù);
③如果當x∈[-1,t]時,f(x)的最大值是4,那么t的最大值為4;
④當1<a<4時,函數(shù)y=f(x)-a最多有4個零點.
其中正確的命題個數(shù)為( �。�
A.0B.1C.2D.3

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