Question

已知函數(shù)f（x）=x，g（x）=3-x²．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）g（x）的極值；
（2）設m是負實數(shù)，求函數(shù)H（x）=f（x）g（x）-m的零點的個數(shù)；
（3）如果存在正實數(shù)a，b，c，使得f（a）g（b）=f（b）g（c）=f（c）g（a）＞0，試證明a=b=c．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過求解函數(shù)F（x）的導數(shù)，確定出函數(shù)的單調區(qū)間是解決本題的關鍵，注意一元二次不等式解法的運用；
（2）將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題是解決本題的關鍵，進而轉化為函數(shù)的極值問題，通過相應函數(shù)的極值與m的關系列出關于m的不等式達到解決本題的目的；
（3）將該等式進行轉化與化歸是解決本體的關鍵，注意反證法在解決本題中的作用．
解答：解：（1）F（x）=3x-x³．F'（x）=3-3x²．
令F'（x）=0，得x=±1．
當x＜-1時，F(xiàn)'（x）＜0；當-1＜x＜1時，F(xiàn)'（x）＞0；當x＞1時，F(xiàn)'（x）＜0，故F（-1）的極小值為-2，F(xiàn)（1）為極大值為2．
（2）函數(shù)H（x）零點個數(shù)即為函數(shù)y=f（x）g（x）的圖象與函數(shù)y=m的圖象的交點個數(shù)．
由（1）的結論可知，當m＜-2時，直線y=m在函數(shù)極小值點的下方，兩圖象只有一個公共點，故函數(shù)H（x）只有一個零點；
當m=-2時，直線y=m恰好經(jīng)過函數(shù)的極小值點，兩圖象有兩個公共點，故函數(shù)H（x）有兩個零點；
當-2＜m＜0時，函數(shù)H（x）有三個零點．
（3）題設也就是a（3-b²）=b（3-c²）=c（3-a²）＞0，且a，b，c＞0．
∴a，b，c均小于．
反設在a，b，c中有兩個量不相等，不妨設a≠b，則a＞b或a＜b．
若a＞b，則由a（3-b²）=b（3-c²）知，3-b²＜3-c²，b²＞c²，b＞c．此時又由b（3-c²）=c（3-a²）得c＞a．于是a＞b＞c＞a，矛盾．同理，若a＜b，也必導出矛盾．
故a=b=c．
點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)在解決問題中的工具作用，考查學生的轉化與化歸的思想和方法，考查學生不等式的工具思想和反證法的解題意識．