【答案】
分析:(1)通過求解函數(shù)F(x)的導數(shù),確定出函數(shù)的單調區(qū)間是解決本題的關鍵,注意一元二次不等式解法的運用;
(2)將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題是解決本題的關鍵,進而轉化為函數(shù)的極值問題,通過相應函數(shù)的極值與m的關系列出關于m的不等式達到解決本題的目的;
(3)將該等式進行轉化與化歸是解決本體的關鍵,注意反證法在解決本題中的作用.
解答:解:(1)F(x)=3x-x
3.F'(x)=3-3x
2.
令F'(x)=0,得x=±1.
當x<-1時,F(xiàn)'(x)<0;當-1<x<1時,F(xiàn)'(x)>0;當x>1時,F(xiàn)'(x)<0,故F(-1)的極小值為-2,F(xiàn)(1)為極大值為2.
(2)函數(shù)H(x)零點個數(shù)即為函數(shù)y=f(x)g(x)的圖象與函數(shù)y=m的圖象的交點個數(shù).
由(1)的結論可知,當m<-2時,直線y=m在函數(shù)極小值點的下方,兩圖象只有一個公共點,故函數(shù)H(x)只有一個零點;
當m=-2時,直線y=m恰好經(jīng)過函數(shù)的極小值點,兩圖象有兩個公共點,故函數(shù)H(x)有兩個零點;
當-2<m<0時,函數(shù)H(x)有三個零點.
(3)題設也就是a(3-b
2)=b(3-c
2)=c(3-a
2)>0,且a,b,c>0.
∴a,b,c均小于

.
反設在a,b,c中有兩個量不相等,不妨設a≠b,則a>b或a<b.
若a>b,則由a(3-b
2)=b(3-c
2)知,3-b
2<3-c
2,b
2>c
2,b>c.此時又由b(3-c
2)=c(3-a
2)得c>a.于是a>b>c>a,矛盾.同理,若a<b,也必導出矛盾.
故a=b=c.
點評:本題考查函數(shù)的導數(shù)在解決問題中的工具作用,考查學生的轉化與化歸的思想和方法,考查學生不等式的工具思想和反證法的解題意識.