Question

已知（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開式前三項(xiàng)中的x的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）展開式中所有的x的有理項(xiàng)為第幾項(xiàng)？
（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：綜合題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)展開式前三項(xiàng)中的x的系數(shù)成等差數(shù)列，可得2•

n

2

=1+

n(n-1)

8

，求出n，寫出展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)x的指數(shù)為整數(shù)，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)為系數(shù)最大的項(xiàng)，則由

tr+1

tr

≥1且

tr+2

tr+1

≤1，可得

9-r 2r ≥1 2(r+1) 8-r ≤1

，求出r，即可求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答： 解：（1）因?yàn)檎归_式前三項(xiàng)中的x的系數(shù)成等差數(shù)列，
所以2•

n

2

=1+

n(n-1)

8

，
所以n=8或n=1（舍去），
n=8時(shí)，展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 8

•2-r•x4-

3

4

r，
由題意，4-

3

4

r必為整數(shù)，從而可知r必為4的倍數(shù)，
∴r=0，4，8，
∴展開式中所有的x的有理項(xiàng)為第1，5，9項(xiàng)；
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)為系數(shù)最大的項(xiàng)，則由

tr+1

tr

≥1且

tr+2

tr+1

≤1，可得

9-r 2r ≥1 2(r+1) 8-r ≤1

，
∴2≤r≤3，
∴r=2或r=3，
∴系數(shù)最大的項(xiàng)為7x

5

2

和7x

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．