Question

10．△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，DA=DB=2，DC=1，則AB•AC的最大值是$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，D是BC上的點(diǎn)，DA=DB=2，DC=1，設(shè)AB=m，AC=n，根據(jù)余弦定理建立關(guān)系，利用基本不等式的性質(zhì)求解．

解答 解：△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，DA=DB=2，DC=1，設(shè)AB=m，AC=n，
cos∠BDA=$\frac{8-{m}^{2}}{8}$，cos∠CDA=$\frac{5-{n}^{2}}{4}$，
∠BDA與∠CDA互補(bǔ)，
∴$\frac{8-{m}^{2}}{8}$=-$\frac{5-{n}^{2}}{4}$，
可得：2n²+m²=18．
那么：AB•AC=m•n=$\frac{1}{\sqrt{2}}m•\sqrt{2}n$≤$\frac{1}{\sqrt{2}}$×$\frac{2{n}^{2}+{m}^{2}}{2}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)m=$\sqrt{2}n$取等號）
故答案為$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理的綜合運(yùn)用和基本不等式的性質(zhì)的求解最值的問題．屬于中檔題．