Question

已知m，n為不相等的正常數，x，y∈（0，+∞），
（1）試判斷

m2

x

+

n2

y

與

(m+n)2

x+y

的大小關系，并證明你的結論
（2）利用（1）的結論，求函數f（x）=

5

x

+

9

1-5x

（x∈（0，

1

5

）
的最小值，并指出取得最小值時x的值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,不等式比較大小,基本不等式

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）利用不等式（

m2

x

+

n2

y

）（x+y）=m²+n²+

m2y

x

+

n2x

y

≥m²+n²2mn=（m+n）²，得證即

m2

x

+

n2

y

≥

(m+n)2

x+y

（

m

x

=

y

n

等號成立）
（Ⅱ）湊出條件：f（x）=

5

x

+

9

1-5x

=

25

5x

+

9

1-5x

≥

(5+3)2

1

=64，利用上題解論即可．

解答： 解：（Ⅰ）證明：因為a，b是不相等的正常數，實數x，y∈（0，+∞），
所以應用均值不等式，得：（

m2

x

+

n2

y

）（x+y）=m²+n²+

m2y

x

+

n2x

y

≥m²+n²2mn=（m+n）²，
即

m2

x

+

n2

y

≥

(m+n)2

x+y

（

m

x

=

y

n

等號成立）
（Ⅱ）∵函數f（x）=

5

x

+

9

1-5x

（x∈（0，

1

5

）
∴f（x）=

5

x

+

9

1-5x

=

25

5x

+

9

1-5x

≥

(5+3)2

1

=64，x∈（0，

1

5

）
但且僅當

5

5x

=

3

1-5x

，x=

1

8

，等號成立，
∴f（x）的最小值為64，此時x=

1

8

點評：本題考查了函數的性質，運用基本不等式求解問題，難度較大，很有創(chuàng)新性，關鍵是確定條件，運用結論．