Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x-3
（1）當(dāng)a=2，x∈[-2，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²+3x-3
=（x+）²-，對稱軸為x=-＜3，
∴函數(shù)在[-2，-]上單調(diào)遞減函數(shù)，在[-，3]上單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（）≤y≤f（3）
f（3）=15，f（）=-
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋篬，15]．
（2）函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x-3的對稱軸是：x=-a．
當(dāng)-a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值為f（-1）=-2a-1=1
∴a=-1；
當(dāng)-a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值為f（3）=6a+3=1
∴a=-；
∴實(shí)數(shù)a的值a=-．或a=-1．
分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，先將二次函數(shù)進(jìn)行配方，然后求出對稱軸，結(jié)合函數(shù)的圖象可求出函數(shù)的值域．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知二次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x-3的對稱軸是：x=-a．進(jìn)行分類討論：當(dāng)=-a＞1時(shí)，當(dāng)=-a＞1時(shí)，分別函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值，再根據(jù)最值在定點(diǎn)處取得建立等式關(guān)系，解之即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的值域，以及二次函數(shù)的圖象等有關(guān)基礎(chǔ)知識，考查計(jì)算能力，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題．