Question

若雙曲線(xiàn)y²-x²=1與有唯一的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6

Answer 1

【答案】分析：先將方程化為：（x≠1），它表示經(jīng)過(guò)A（2，1）且斜率為m的直線(xiàn)l（除去x=1的點(diǎn)）如圖，設(shè)直線(xiàn)x=1與雙曲線(xiàn)y²-x²=1的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．?dāng)?shù)形結(jié)合即可找出有唯一的公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值集合中元素的個(gè)數(shù)．
解答：解：可化為：
（x≠1），
它表示經(jīng)過(guò)A（2，1）且斜率為m的直線(xiàn)l（除去x=1的點(diǎn)）
如圖，
設(shè)直線(xiàn)x=1與雙曲線(xiàn)y²-x²=1的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．
當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)M或N時(shí)，雙曲線(xiàn)y²-x²=1與l有唯一的公共點(diǎn)，
另外當(dāng)直線(xiàn)l平行于雙曲線(xiàn)y²-x²=1的漸近線(xiàn)時(shí)，也有唯一的公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值集合中元素的個(gè)數(shù)為4．
當(dāng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切是，還有兩個(gè)元素，
共有6個(gè)元素
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查雙曲線(xiàn)的應(yīng)用、元素與集合關(guān)系的判斷、直線(xiàn)的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．