Question

設函數f（x）=（log₂x+log₂4）（log₂x+log₂2）的定義域為[

1

4

，4]，
（Ⅰ）若t=log₂x，求t的取值范圍；
（Ⅱ）求y=f（x）的最大值與最小值，并求出最值時對應的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用對數函數的單調性確定函數t=log₂x的取值范圍；
（Ⅱ）利用換元法將函數y=f（x）轉化為關于t的一元二次函數，利用二次函數的性質求函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）因為函數t=log₂x，單調遞增，當x∈[

1

4

，4]時，log2

1

4

≤log2x≤log24，
即-2≤log₂x≤2，所以-2≤t≤2，即t的取值范圍[-2，2]．
（Ⅱ）設t=log₂x，則函數y=f（x）=（log₂x+2）（log₂x+1）=（t+2）（t+1），-2≤t≤2，
設y=g(t)=(t+2)(t+1)=(t+

3

2

)2-

1

4

，
所以當t=-

3

2

時即t=log2x=-

3

2

，即x=2-

3

2

=

2

4

時，函數y有最小值-

1

4

，
當t=2時，即t=log₂x=2，x=4時，函數y有最大值為12．

點評：本題主要考查對數函數的性質以及二次函數的性質的應用，利用換元法將函數轉化為二次函數是解決本題的關鍵．