Question

已知函數f(x)＝.

(1)判斷f(x)的奇偶性．

(2)確定f(x)在(－∞，0)上是增函數還是減函數？在區(qū)間(0，＋∞)上呢？請證明你的結論．

Answer 1

解：(1)因為f(x)的定義域為R，

又f(－x)＝＝＝f(x)，

所以f(x)為偶函數．

(2)f(x)在(－∞，0)上是增函數，由于f(x)為偶函數，所以f(x)在(0，＋∞)上為減函數．

證明：取x₁<x₂<0，f(x₁)－f(x₂)＝－＝＝.

因為x₁<x₂<0，所以x₂－x₁>0，x₁＋x₂<0，

且x＋1>0，x＋1>0.

所以f(x₁)－f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)．

所以f(x)在(－∞，0)上為增函數．

同理，f(x)在(0，＋∞)上為減函數．

點評：利用函數奇偶性的定義判斷奇偶性的步驟：

第一步：確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；

第二步：確定f(－x)與f(x)的關系；

第三步：根據定義，作出相應的結論：

若f(－x)＝f(x)，則f(x)是偶函數；

若f(－x)＝－f(x)，則f(x)是奇函數．

若第一步中求出的函數定義域不關于原點對稱，則不需進行第二步和第三步的判斷，而直接得出結論函數既不是奇函數，也不是偶函數．