Question

函數(shù)f（x）=mx²-2x+1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：檢驗(yàn)當(dāng)m=0時(shí)，滿足條件．當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)f（x）=mx²-2x+1圖象是拋物線，則得 ①對(duì)稱軸x=

1

m

＞0，且判別式△=4-4m=0；或者②對(duì)稱軸x=

1

m

＜0．分別求得m的范圍，再取并集，即可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)m=0時(shí)，令f（x）=-2x+1=0，求得x=

1

2

，滿足條件．
當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)f（x）=mx²-2x+1圖象是拋物線，且與y軸的交點(diǎn)為（0，1），
由f（x）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，
則得：①對(duì)稱軸x=

1

m

＞0，且判別式△=4-4m=0，求得m=1．
或者②對(duì)稱軸x=

1

m

＜0，解得 m＜0．
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍{m|m=1，或m≤0}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．