Question

如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2m的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為am、高度為bm，已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)在的制箱材料，問當a、b各為多少時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最��？(A、B孔的面積忽略不計)

Answer 1

答案：6m,3m
解析：

解法1：設y為流出的水中雜質的質量分數，則，其中k＞0為比例系數，依題意，即所求的a、b值使y值最�。� 根據題設，有4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 得(0＜a＜30)． ① 于是 ． 當時取等號，y達到最小值． 這時a＝6，a＝－10(舍去)．將a＝6代入①式得b＝3． 故當a為6m，b為3m時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最�。� 解法2：依題意，即所求的a、b值使ab最大 由題設知4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 即a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0)． ∵，∴． 當且僅當a＝2b時，上式取等號． 由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18，即當a＝2b時，ab取得最大值，其最大值為18． ∴，解得b＝3，a＝6． 故當a為6m，b為3m時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小． 本題考查綜合應用所學數學知識、思想和方法解法實際問題的能力，考查函數關系、不等式性質、最大值、最小值等基礎知識，考查利用均值不等式求最值的方法，閱讀理解能力、數學建模能力．