Question

已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD的邊長(zhǎng)為

3

的正方形．若PA=

6

，則球O的表面積為（　�。�

• A、9π
• B、12π
• C、18π
• D、6π

Answer 1

分析：由點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，將P，A，B，C，D補(bǔ)全為長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，讓P與A′重合，則球O為該長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線PC即為球O的直徑．由此能求出球O的表面積．

解答：解：∵點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，
∴將P，A，B，C，D補(bǔ)全為長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，
讓P與A′重合，則球O為該長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線PC即為球O的直徑．
∵ABCD是邊長(zhǎng)為

3

的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=

6

，
∴PC²=AP²+AC²=6+6=12，
∴2R=2

3

，R=OP=

3

，
球O的表面積S=4πR²=12π．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查球內(nèi)接多面體的應(yīng)用，“補(bǔ)形”是關(guān)鍵，考查分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．