(1)對(duì)于定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),滿(mǎn)足x(x)+2f(x)<0,求證:函數(shù)y=x2f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);

(2)請(qǐng)你認(rèn)真研讀(1)中命題并聯(lián)系以下命題:若f(x)是定義在(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù),滿(mǎn)足x(x)+f(x)<0,則y=xf(x)是(0,+∞)上的減函數(shù).然后填空建立一個(gè)普遍化的命題:

設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù),n∈N+,若________×(x)+n×f(x)<0,則________是(0,+∞)上的減函數(shù).

注:命題的普遍化就是從考慮一個(gè)對(duì)象過(guò)渡到考慮包含該對(duì)象的一個(gè)集合;或者從考慮一個(gè)較小的集合過(guò)渡到考慮包含該較小集合的更大集合.

(3)證明(2)中建立的普遍化命題.

答案:
解析:

  (1)證明:當(dāng)時(shí),用乘以,得所以,函數(shù)上是減函數(shù); 4分

  (2)設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),,若,則上的減函數(shù).4分

  (3)證明略.4分


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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義:對(duì)于任意x∈[0,1],函數(shù)f(x)≥0恒成立,且當(dāng)x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時(shí),總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱(chēng)f(x)為G函數(shù).已知函數(shù)g(x)=x2與h(x)=a-2x-1是定義在[0,1]上的函數(shù).
(1)試問(wèn)函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)?并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;
(3)在(2)的條件下,利用函數(shù)圖象討論方程g(2x)+h(-2x+1)=m(m∈R)解的個(gè)數(shù)情況.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于定義在區(qū)間[m,n]上的兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x),如果對(duì)任意的x∈[m,n],均有不等式|f(x)-g(x)|≤1成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x)與g(x)在[m,n]上是“友好”的,否則稱(chēng)“不友好”的.現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)f(x)=loga(x-3a)與g(x)=loga
1x-a
(a>0,a≠1),給定區(qū)間[a+2,a+3].
(1)若f(x)與g(x)在區(qū)間[a+2,a+3]上都有意義,求a的取值范圍;
(2)討論函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[a+2,a+3]上是否“友好”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:黃岡新內(nèi)參·高考(專(zhuān)題)模擬測(cè)試卷·數(shù)學(xué) 題型:044

對(duì)于定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)=-ax+1,是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在區(qū)間[0,]上為減函數(shù),且在區(qū)間[,1]上為增函數(shù)?說(shuō)明理由.

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定義:對(duì)于任意x∈[0,1],函數(shù)f(x)≥0恒成立,且當(dāng)x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時(shí),總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱(chēng)f(x)為G函數(shù).已知函數(shù)g(x)=x2與h(x)=a-2x-1是定義在[0,1]上的函數(shù).
(1)試問(wèn)函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)?并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;
(3)在(2)的條件下,利用函數(shù)圖象討論方程g(2x)+h(-2x+1)=m(m∈R)解的個(gè)數(shù)情況.

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