Question

已知：f（x）=2sin²（ωx+

π

4

）-

3

cos2ωx，兩對稱軸間的最短距離為

π

2

，A為銳角△ABC的內(nèi)角，若f（A）=

3

+1．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC的外接圓半徑為

3

，求△ABC的周長的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為 f（x）=1+2sin（2ωx-

π

3

），根據(jù)周期性求得ω=1，可得f（x）的解析式，再根據(jù)f（A）=

3

+1求得A的值．
（Ⅱ）利用正弦定理求得a=3，又 a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，bc≤(

b+c

2

)2=

(b+c)2

4

，求得a²≥

(b+c)2

4

，可得b+c的最大值，從而求得周長的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=1-cos(2ωx+

π

2

)-

3

cos(2ωx)=1+sin2ωx-

3

cos2ωx=1+2sin(2ωx-

π

3

)，
∵函數(shù)的周期T=π=

2π

2ω

，∴ω=1，∴f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，∴f(A)=1+2sin(2A-

π

3

)=

3

+1，
∴sin(2A-

π

3

)=

3

2

，（0＜A＜π）．
再根據(jù)-

π

3

＜2A-

π

3

＜

5π

3

，∴2A-

π

3

=

π

3

，或2A-

π

3

=

2π

3

，∴A=

π

3

，或A=

π

2

，根據(jù)A為銳角，可得A=

π

3

．
（Ⅱ）∵

a

sinA

=2R，a=2

3

×

3

2

=3．
又 a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，bc≤(

b+c

2

)2=

(b+c)2

4

，∴a²≥（b+c）²-

3

4

（b+c）²=

(b+c)2

4

，
∴（b+c）²≤36b+c≤6a+b+c≤9，即周長的最大值為9．

點評：本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、正弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．