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16.已知F1(-c,0)、F2(c、0)分別是橢圓G:x2a2+y2b2=1(0<b<a<3)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P(2,2)是橢圓G上一點(diǎn),且|PF1|-|PF2|=a.
(1)求橢圓G的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn),若OAOB,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),判斷O到直線l的距離是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由.

分析 (1)根據(jù)橢圓的定義,求得丨PF1丨=32a=3|PF2|,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,即可求得c的值,則求得a的值,b2=a2-c2=4,即可求得橢圓方程;
(2)當(dāng)直線l⊥x軸,將直線x=m代入橢圓方程,求得A和B點(diǎn)坐標(biāo),由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,即可求得m的值,求得O到直線l的距離;當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線方程,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,點(diǎn)到直線的距離公式,即可求得O到直線l的距離為定值.

解答 解:(1)由橢圓的定義可知:|PF1|+|PF2|=2a.由|PF1|-|PF2|=a.
∴丨PF1丨=32a=3|PF2|,
2+c2+2=32c2+2,化簡得:c2-5c+6=0,
由c<a<3,
∴c=2,
則丨PF1丨=32=32a,則a=22,
b2=a2-c2=4,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x28+y24=1;
(2)由題意可知,直線l不過原點(diǎn),設(shè)A(x1,x2),B(x2,y2),
①當(dāng)直線l⊥x軸,直線l的方程x=m,(m≠0),且-22<m<22,
則x1=m,y1=4m22,x2=m,y2=-4m22,
OAOB,
∴x1x2+y1y2=0,即m2-(4-m22)=0,
解得:m=±263
故直線l的方程為x=±263,
∴原點(diǎn)O到直線l的距離d=263
②當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+n,
{x28+y24=1y=kx+n,消去y整理得:(1+2k2)x2+4knx+2n2-8=0,
x1+x2=-4kn1+2k2,x1x2=2n281+2k2
則y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+kn(x1+x2)+n2=n28k21+2k2,
OAOB,
∴x1x2+y1y2=0,故2n281+2k2+n28k21+2k2=0,
整理得:3n2-8k2-8=0,即3n2=8k2+8,①
則原點(diǎn)O到直線l的距離d=n1+k2
∴d2=(n1+k22=n21+k2=3n231+k2,②
將①代入②,則d2=8k2+831+k2=83,
∴d=263
綜上可知:點(diǎn)O到直線l的距離為定值263

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,點(diǎn)到直線的距離公式,考查計算能力,屬于中檔題.

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