Question

【題目】已知有窮數(shù)列， ， ， ， ，若數(shù)列中各項(xiàng)都是集合的元素，則稱該數(shù)列為數(shù)列．

對(duì)于數(shù)列，定義如下操作過(guò)程從中任取兩項(xiàng)， ，將的值添在的最后，然后刪除， ，這樣得到一個(gè)項(xiàng)的新數(shù)列，記作（約定：一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列）．若還是數(shù)列，可繼續(xù)實(shí)施操作過(guò)程．得到的新數(shù)列記作， ，如此經(jīng)過(guò)次操作后得到的新數(shù)列記作．

（Ⅰ）設(shè)， ， ， ，請(qǐng)寫(xiě)出的所有可能的結(jié)果．

（Ⅱ）求證：對(duì)數(shù)列實(shí)施操作過(guò)程后得到的數(shù)列仍是數(shù)列．

（Ⅲ）設(shè)， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，求的所有可能的結(jié)果，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（）見(jiàn)解析（）見(jiàn)解析（）．

【解析】試題分析：（1）中任取2項(xiàng)，有種取法，所以可以得到6種；（2）由，有，得證；（3）經(jīng)驗(yàn)證，我們可知數(shù)列滿足交換律和結(jié)合律，與具體操作過(guò)程無(wú)關(guān)，則，

易知， ， ， ．

，所以．

試題解析：

（）有如下種可知結(jié)果： ， ， ； ， ， ；

， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ．

（）證明：∵， ，有：

且，

∴．

故對(duì)數(shù)列實(shí)施操作后得到的數(shù)列仍是數(shù)列．

（）由題意可知中僅有一項(xiàng)，

對(duì)于滿足， 的實(shí)數(shù)， 定義運(yùn)算： ，

下面證明這種運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律．

∵，且，

∴，即該運(yùn)算滿足交換律．

∵，

．

∴，即該運(yùn)算滿足結(jié)合律，

∴中的項(xiàng)與實(shí)施的具體操作過(guò)程無(wú)關(guān)．

選擇如下操作過(guò)程求，由（）可知，

易知， ， ， ．

．

綜上可知．