Question

已知0≤x≤

π

2

，求函數y=cos²x-2acosx的最大值M（a）與最小值m（a）．

Answer 1

分析：令t=cosx（0≤x≤

π

2

）?t∈[0，1]，依題意，y=cos²x-2acosx=（t-a）²-a²，t∈[0，1]．令f（t）=（t-a）²-a²（0≤t≤1）．通過對二次函數對稱軸t=a中a的范圍的討論，利用二次函數的單調性與最值即可求得函數y=cos²x-2acosx的最大值M（a）與最小值m（a）．

解答：解：∵0≤x≤

π

2

，
∴0≤cosx≤1，
令t=cosx，t∈[0，1]，
∵y=cos²x-2acosx=（cosx-a）²-a²=（t-a）²-a²，t∈[0，1]．
令f（t）=（t-a）²-a²，t∈[0，1]．
則（1）當a＜0時，f（t）在[0，1]上單調遞增，
∴m（a）=f（0）=0，M（a）=f（1）=1-2a；
（2）當0≤a＜

1

2

時，同理可得m（a）=f（a）=-a²，M（a）=f（1）=1-2a；
（3）當

1

2

≤a＜1時，m（a）=f（a）=-a²，M（a）=f（0）=0；
（4）當a≥1時，f（t）在[0，1]上單調遞減，m（a）=f（1）=1-2a，M（a）=f（0）=0．

點評：本題考查二次函數的單調性與最值，著重考查轉化思想與分類討論思想，考查分析、運算能力，屬于難題．