Question

正三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，過(guò)D作球O的截面，則截面面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)正△ABC的中心為O₁，連結(jié)O₁O、O₁C、O₁D、OD．根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與勾股定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出OD=

7

2

．而經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的球O的截面，當(dāng)截面與OD垂直時(shí)截面圓的半徑最小，相應(yīng)地截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值．

解答： 解：設(shè)正△ABC的中心為O₁，連結(jié)O₁O、O₁C、O₁D、OD，
∵O₁是正△ABC的中心，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，
∴O₁O⊥平面ABC，結(jié)合O₁C?平面ABC，可得O₁O⊥O₁C，
∵球的半徑R=2，球心O到平面ABC的距離為1，得O₁O=1，
∴Rt△O₁OC中，O₁C=

R2-O1O2

=

3

．
又∵D為BC的中點(diǎn)，∴Rt△O₁DC中，O₁D=

1

2

O₁C=

3

2

．
∴Rt△OO₁D中，OD=

O1D2+O1O2

=

7

2

．
∵過(guò)D作球O的截面，當(dāng)截面與OD垂直時(shí)，截面圓的半徑最小，
∴當(dāng)截面與OD垂直時(shí)，截面圓的面積有最小值．
此時(shí)截面圓的半徑r=

R2-OD2

=

22-( 7 2 )2

=

3

2

，可得截面面積為S=πr²=

9π

4

．
故答案為：

9π

4

點(diǎn)評(píng)：本題已知球的內(nèi)接正三角形與球心的距離，求經(jīng)過(guò)正三角形中點(diǎn)的最小截面圓的面積．著重考查了勾股定理、球的截面圓性質(zhì)與正三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．