Question

設曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，則log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,對數的運算性質

專題：導數的綜合應用

分析：由導數求出函數在點（1，1）處的切線方程，得到切線在x軸上的截距，然后利用對數的運算性質化簡
log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂，把數列{x_n}累積后代入得答案．

解答： 解：由y=xⁿ⁺¹，得y′=（n+1）xⁿ，
∴y′|_x=1=n+1，
則曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），
取y=0得：x=

n

n+1

．
則log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂
=log₂₀₁₃（x₁x₂…x₂₀₁₂）=log2013(

1

2

•

2

3

…

2012

2013

)=log2013

1

2013

=-1．
故答案為：-1．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了對數的運算性質，是中檔題．