如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得點(diǎn)P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，如圖2所示．點(diǎn)E、F分別為棱PC，CD的中點(diǎn)．
 
(1)求證：平面OEF∥平面APD；
(2)求證：CD⊥平面POF；
(3)在棱PC上是否存在一點(diǎn)M，使得M到P，O，C，F四點(diǎn)距離相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）存在
(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC.
因?yàn)?i>AB＝BC，所以O是AC的中點(diǎn)，
所以OE∥PA.
同理OF∥AD.
又OE∩OF＝O，PA∩AD＝A，
所以平面OEF∥平面PDA.
(2)證明：因?yàn)?i>OF∥AD，AD⊥CD，
所以OF⊥CD.
又PO⊥平面ADC，CD?平面ADC，
所以PO⊥CD.
又OF∩PO＝O，所以CD⊥平面POF.
(3)存在，事實(shí)上記點(diǎn)E為M即可．
因?yàn)?i>CD⊥平面POF，PF?平面POF，
所以CD⊥PF.
又E為PC的中點(diǎn)，所以EF＝PC，
同理，在直角三角形POC中，EP＝EC＝OE＝PC，
所以點(diǎn)E到四個(gè)點(diǎn)P，O，C，F的距離相等．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中點(diǎn)．

(1)求證：AM＝CM；
(2)若N是PC的中點(diǎn)，求證：DN∥平面AMC.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面△ABC是等邊三角形，D為AB中點(diǎn)．
 
(1)求證：BC1∥平面A1CD；
(2)若四邊形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA1，求證：三棱柱ABC­A1B1C1是正三棱柱．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知三棱錐的側(cè)棱與底面垂直，,, M、N分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，且,

（1）證明：無(wú)論取何值，總有.
（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α、β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是________．(填序號(hào))
①P∈a，P∈αaα；
②a∩b＝P，bβaβ；
③a∥b，aα，P∈b，P∈αbα；
④α∩β＝b，P∈α，P∈βP∈b.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是線段C1D,BC的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是(　　)
A．相交B．異面C．平行D．垂直

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

設(shè)x，y，z是空間中不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形：①x，y，z均為直線；②x，y是直線，z是平面；③x，y是平面，z是直線；④x，y，z均為平面．其中使“x∥z且y∥z?x∥y”為真命題的是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題：
①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β；
②若l?α，l∥β，α∩β＝m，則l∥m；
③若α∥β，l∥α則l∥β；
④若l⊥α，m∥l，α∥β，則m⊥β.
其中真命題是______________(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

對(duì)于直線m,n和平面α,β,α⊥β的一個(gè)充分條件是(　　)
A．m⊥n,m∥α,n∥βB．m⊥n,α∩β=m,n?α
C．m∥n,n⊥β,m?αD．m∥n,m⊥α,n⊥β

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同步練習(xí)冊(cè)答案