Question

已知數(shù)列{a_n}是首項a₁=a，公差為2的等差數(shù)列；數(shù)列{b_n}滿足2b_n=（n+1）a_n．
（1）若a₁、a₃、a₄成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若對任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）數(shù)列{c_n}滿足 ，其中c₁=1，；f（n）=b_n-|c_n|，當-16≤a≤-14時，求f（n）的最小值（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為a₁、a₃、a₄成等比數(shù)列，所以a₁•a₄=a₃²，由此能求出a_n．
（2）由2b_n=（n+1）a_n，=，由題意得：，由此能求出a的范圍．
（3）因為．當n為偶數(shù)時：；；由此能求出．
解答：解：（1）因為a₁、a₃、a₄成等比數(shù)列，
所以a₁•a₄=a₃²，
即a•（a+6）=（a+4）²，a=-8，
∴a_n=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2b_n=（n+1）a_n，
=，…（6分）
由題意得：，
-22≤a≤-18…（10分）
（3）因為
①當n為偶數(shù)時：，
，
，
所以 C_n=C₂+（C₄-C₂）+L+（C_n-2-C_n-4）+（C_n-C_n-2）
==
即；（12分）
②n為奇數(shù)時：，，
，
所以 C_n=C₁+（C₃-C₁）+L+（C_n-2-C_n-4）+（C_n-C_n-2）
==
即；…（14分）
綜合①②得   
所以 ，
所以，…（15分）
則，

=2n+1-．…（16分）
因為數(shù)列對任意n∈N^*是單調(diào)遞增數(shù)列，
且-16≤a≤-14
所以當n≥4時，f（n+1）-f（n）
=2n+1-
即f（4）＜f（5）＜f（6）＜L＜f（n）＜L
所以當1≤n≤3時f（n+1）-f（n）
=2n+1--，
即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）
當n=4時，f（4）=16+2a+
所以 …（18分）
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．