Question

【題目】設(shè)橢圓E： （a＞b＞0），其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 倍，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為2 ．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線(xiàn)l交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，在線(xiàn)段OF2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：不妨設(shè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（c，0），

則過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（c，y0），

代入 可得，y0= ，

因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為2 ，

所以 ，

由題意得，a= b，代入上式解得：a=2 、b= ，

故所求橢圓方程為

（2）解：假設(shè)在線(xiàn)段OF2上存在點(diǎn)M（m，0）（ ）滿(mǎn)足條件，

∵直線(xiàn)與x軸不垂直，

∴設(shè)直線(xiàn)l的方程為 ．

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

由 ，可得 ．

則 ， ．

∴ ， ，其中x2﹣x1≠0，

∵以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，

∴ ．

∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0．

∴x1+x2﹣2m+k（y1+y2）=0．

∴ ．

化簡(jiǎn)得 = （k≠0），

則

在線(xiàn)段OF2上存在點(diǎn)M（m，0）符合條件，且

【解析】（1）由題意先求出直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再列出方程求出a、b的值，代入橢圓方程即可；（2）先假設(shè)存在點(diǎn)M（m，0）（ ）滿(mǎn)足條件，由點(diǎn)斜式設(shè)出直線(xiàn)l的方程，以及P、Q的坐標(biāo)，將直線(xiàn)方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)后，利用韋達(dá)定理、菱形的等價(jià)條件、向量知識(shí)，可求出m的范圍，再進(jìn)行判斷．