Question

如圖，在底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側(cè)棱CC₁上的一點，CP=m．
（Ⅰ）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60°；
（Ⅱ）在線段A₁C₁上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D₁Q⊥AP，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D點為坐標(biāo)原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間坐標(biāo)系，求出面BDD₁B₁的一個法向量，以及，求出這兩向量的夾角，最后求出此角的補(bǔ)角即可；
（2）假設(shè)在A₁C₁上存在這樣的點Q，設(shè)此點的橫坐標(biāo)為x，對任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP．等價于，建立等量關(guān)系，求出x即可．
解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
A（1，0，0），B（1，1，0），
P（0，1，m），C（0，1，0），
D（0，0，0），B₁（1，1，2），D₁（0，0，2）．
所以，
．
又由的一個法向量．
設(shè)AP與面BDD₁B₁所成的角為θ，
則=，
解得．故當(dāng)時，
直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60°；（5分）

（2）若在A₁C₁上存在這樣的點Q，設(shè)此點的橫坐標(biāo)為x，
則．
依題意，對任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP．等價于
即Q為A₁C₁的中點時，滿足題設(shè)的要求．（10分）
點評：本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．