Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n-2a_n+1+a_n+2=0（n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

a2n-1+1

，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求滿足S_n＞

510

511

的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的通項公式,等差關(guān)系的確定,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得{a_n}成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則（1+d）²=1+4d，由此能求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）由已知條件推導出bn=

1

2n

，從而得到Sn=1-

1

2n

，由此能求出滿足S_n＞

510

511

的最小正整數(shù)n的值．

解答： 滿分（14分）．
解：（Ⅰ）∵2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴{a_n}成等差數(shù)列，
設(shè)公差為d，則（1+d）²=1+4d，解得d=2（d=0舍去）
∴a_n=2n-1．（7分）
（Ⅱ）∵a_n=2n-1，
∴bn=

1

a2n-1+1

=

1

2•2n-1+1-1

=

1

2n

，（9分）
∴Sn=1-

1

2n

，（11分）
∴Sn＞

510

511

=1-

1

511

，
即2ⁿ＞511（n∈N^*），
∴n_min=9，
∴滿足S_n＞

510

511

的最小正整數(shù)n的值是9．（14分）

點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力．