Question

已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AC₁與平面A₁BD，CB₁D₁交于E，F兩點．給出以下命題，其中真命題有

 

（寫出所有正確命題的序號）
①點E，F為線段AC₁的兩個三等分點；
②

ED1

=-

2

3

DC

+

1

3

AD

+

1

3

AA1

；
③設A₁D₁中點為M，CD的中點為N，則直線MN與面A₁DB有一個交點；
④E為△A₁BD的內心；
⑤設K為△B₁CD₁的外心，則

VK-BED

VA1-BFD

為定值．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間向量及應用

分析：對①運用平行四邊形的對角線互相平分，以及三角形的重心的性質解決；對②運用空間向量的合成與分解；對③運用面面平行的判定與性質解決；對④可由①的分析可得；對⑤運用三棱錐的體積公式即得．

解答： 解：①連接A₁C₁，A₁C，AC，設AC₁與A₁C交于O點，連接A₁E并延長交AC于H點，由平行四邊形對角線互相平分得OA=OC₁，又A₁H是面A₁DB與面A₁AC的交線，所以H為AC與BD的交點，即為中點，從而E為△A₁AC的重心，
A₁E=2EH，AE=2OE，又OE=OF，從而AE=EF，同理可得C₁F=2OF，所以點E，F為線段AC₁的兩個三等分點，故①
正確；
②

ED1

=

A1D1

-

A1E

=

AD

-

2

3

A1H

=

AD

-

2

3

×

1

2

(

A1D

+

A1B

）=

AD

-

1

3

(

AD

-

AA1

)-

1

3

(

AB

-

AA1

)
=

2

3

AD

+

2

3

AA1

-

1

3

DC

，所以②不對；
③取DD₁的中點K，連接KM，KN，則KM∥A₁D，KN∥A₁B，由面面平行的判定定理得面KMN∥面A₁BD，再由面面平行的性質定理得MN∥面A₁BD，即MN與面A₁BD沒有交點，故③錯；
④由①的分析可得：E為△A₁BD的重心，故④錯；
⑤A₁D∥B₁C，BD∥B₁D₁，由面面平行的判定定理可得：面A₁BD∥面B₁CD₁，所以K，F到面A₁BD的距離相等，設為h，VK-BED=

1

3

hS△BED，VA1-BFD=VF-A1BD=

1

3

hS△A1BD，又S△A1BD=3S△BED，
∴

VK-BED

VA1-BFD

=

1

3

，故⑤正確．
故答案為：①⑤

點評：本題主要考查平行六面體的性質，考查面面平行的判定和性質，空間向量基本定理，考查三棱錐的體積計算，是一道空間幾何的綜合題，本題屬于中檔題．