Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），當x∈[4，6]時，f（x）=2^x+1，則函數f（x）在區(qū)間[-2，0]上的反函數f^-1（x）的值f^-1（19）=（ ）
A．3-2log₂3
B．-1-2log₂3
C．5+log₂3
D．log₂15

Answer 1

【答案】分析：利用函數的奇偶性、周期性及反函數，把要求的函數的自變量轉化到所給的區(qū)間x∈[4，6]，即可計算出要求的值．
解答：解：設f^-1（19）=a∈[-2，0]，則f（a）=19，
∵a∈[-2，0]，∴-a∈[0，2]，∴（-a+4）∈[4，6]，
又已知f（x）是定義在R上的偶函數，∴f（a）=f（-a），
∵對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），∴f（-a）=f（-a+4），
而當x∈[4，6]時，f（x）=2^x+1，
∴f（-a+4）=2^-a+4+1，
∴2^-a+4+1=19，即2^-a+4=18，即-a+4=log₂18，
而log₂18=1+2log₂3，
∴-a+4=1+2log₂3，
∴a=3-2log₂3．
故選A．
點評：本題綜合考查了函數的奇偶性、周期性及反函數，準確理解以上有關定義及性質是解決問題的關鍵．