(本小題14分) 如圖,在平面直角坐標系xoy中,設(shè)點F(0, p)(p>0), 直線l : y= -p, 點P在直線l上移動,R是線段PF與x軸的交點, 過R、P分別作直線、
,使
,
.
(1)求動點Q的軌跡C的方程;
(2)在直線l上任取一點M做曲線C的兩條切線,設(shè)切點為A、B,求證:直線AB恒過一定點;
(3)對(2)求證:當直線MA, MF, MB的斜率存在時,直線MA, MF, MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.
(1).(2)直線恒過定點
.
(3) 證明:見解析。
【解析】
試題分析:(Ⅰ)先判斷RQ是線段FP的垂直平分線,從而可得動點Q的軌跡C是以F為焦點,l為準線的拋物線;
(Ⅱ)設(shè)M(m,-p),兩切點為A(x1,y1),B(x2,y2),求出切線方程,從而可得x1,x2為方程x2-2mx-4p2=0的兩根,進一步可得直線AB的方程,即可得到直線恒過定點(0,p);
(Ⅲ) 由(Ⅱ)的結(jié)論,設(shè)M(m,-p),A(x1,y1),B(x2,y2),且有x1+x2=2m,x1x2=-4p2,從而可得kMA ,kMB由此可證直線MA,MF,MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.
解:(1)依題意知,點是線段
的中點,且
⊥
,
∴是線段
的垂直平分線. ∴
.
故動點的軌跡
是以
為焦點,
為準線的拋物線,
其方程為:.
(2)設(shè),兩切點為
,
∴兩條切線方程為xx=2p(y+y
)
①
xx=2p(y+y
) ②
對于方程①,代入點,
又
, 整理得:
,
同理對方程②有
,
即
為方程
的兩根.
∴ ③
設(shè)直線的斜率為
,
所以直線的方程為
,展開得:
,代入③得:
,
∴直線恒過定點
.
(3) 證明:由(2)的結(jié)論,設(shè),
,
且有,
∴
∴
=
又∵,所以
即直線的斜率倒數(shù)成等差數(shù)列.
考點:本題主要考查了拋物線的定義,考查直線恒過定點,考查直線的向量。屬于中檔題
點評:解決該試題的關(guān)鍵是正確運用韋達定理,以及拋物線中x,y關(guān)系式的轉(zhuǎn)化與化簡是解決試題的又一個難點。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題14分)如圖,三棱錐中,
平面
,
,
,
分別是
上
的動點,且平面
,二面角
為
.
(1)求證:平面
;
(2)若,求直線
與平面
所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:寧波市2010屆高三三�?荚囄目茢�(shù)學(xué)試題 題型:解答題
(本小題14分)如圖,三棱錐中,
平面
,
,
,
分別是
上
的動點,且平面
,二面角
為
.
(1)求證:平面
;
(2)若,求直線
與平面
所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆廣東省高二上學(xué)期期末考試理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題14分)如圖所示,在四棱錐中,底面
為矩形,側(cè)棱
底面
,
為
的中點.
(1)求直線與
所成角的余弦值;
(2)在側(cè)面內(nèi)找一點
,使
平面
,并分別求出點
到
和
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省揚州市高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題 題型:解答題
(本小題14分)
如圖,在直三棱柱中,
,點
在邊
上,
。
(1)求證:平面
;
(2)如果點是
的中點,求證:
平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年浙江省高二下學(xué)期第二次階段性考試文數(shù) 題型:解答題
(本小題14分)
如圖,在四棱錐V-ABCD中底面ABCD是正方形,側(cè)面VAD是正三角形,
平面VAD
(1)證明:AB;
(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值。
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