【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，證明: （其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

【答案】（1）當時， 的遞增區(qū)間為；

當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的取值范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

（2）問題轉(zhuǎn)化為，令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

（1）由題意，函數(shù)的定義域為,

當時，恒成立，故的遞增區(qū)間為；

當時，在區(qū)間，時，時，

所以的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當時，在區(qū)間，時，時，

所以的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

綜上所述，當時， 的遞增區(qū)間為；

當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

（2）當時，由,只需證明.

令 ，.

設(shè)，則.

當時，，單調(diào)遞減;

當時，，單調(diào)遞增,

∴當時，取得唯一的極小值，也是最小值.

的最小值是 成立.

故成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，若有兩個相異極值點，，且，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一，他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)，并作為計算圓的周長，面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ)，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數(shù)值，這個結(jié)果是當時世界上圓周率計算的最精確數(shù)據(jù).如圖，當分割到圓內(nèi)接正六邊形時，某同學(xué)利用計算機隨機模擬法向圓內(nèi)隨機投擲點，計算得出該點落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269，那么通過該實驗計算出來的圓周率近似值為（參考數(shù)據(jù)：）

A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)和是函數(shù)的兩個極值點,其中.

（1）求的取值范圍;

（2）若為自然對數(shù)的底數(shù)),求的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)滿足任意都有，且時，，則，，的大小關(guān)系是（ ）

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

①當時，函數(shù)有______零點；

②若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是______.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）。以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和 的直角坐標方程；

（2）若，交于A，B兩點，P點極坐標為，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，橢圓上短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為；

（1）求橢圓的方程；

（2）過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點（點在第二象限），是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，若，求證：直線的斜率為定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝cos（），把函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位得函數(shù)g（x）的圖象，則下面結(jié)論正確的是（ ）

A.函數(shù)g（x）是偶函數(shù)

B.函數(shù)g（x）的最小正周期是4π

C.函數(shù)g（x）在區(qū)間[π，3π]上是增區(qū)數(shù)

D.函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x＝π對稱

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案