Question

已知等差數(shù)列{a_n²}滿足首項(xiàng)a₁²=1，且公差d=1，a_n＞0，n∈N⁺．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=

1

an+1+an

，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n，并求lg（T_n+1）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出求{a_n²}的通項(xiàng)公式即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出b_n=

1

an+1+an

的表達(dá)式，利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)求和即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n²}滿足首項(xiàng)a₁²=1，且公差d=1，
∴a_n²=a₁²+（n-1）d=n，
∵a_n＞0，
∴a_n=

n

，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

n

；
（Ⅱ）b_n=

1

an+1+an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

；
則數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n=

2

-1+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1；
則lg（T_n+1）=lg（

n+1

-1+1）=lg

n+1

，
則lg（T_n+1）的取值范圍為{m|m=lg

n+1

，n∈N^•}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用，以及數(shù)列求和，利用分母有理化進(jìn)的方法是解決本題的關(guān)鍵．