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【題目】在平面直角坐標系中,橢圓 )的離心率為,連接橢圓的四個頂點所形成的四邊形面積為

1)求橢圓的標準方程;

2)若橢圓上點到定點)的距離的最小值為1,求的值及點的坐標;

3)如圖,過橢圓的下頂點作兩條互相垂直的直線,分別交橢圓于點, ,設直線的斜率為,直線 分別與直線, 交于點, .記, 的面積分別為, ,是否存在直線,使得?若存在,求出所有直線的方程;若不存在,說明理由.

【答案】12的值為2,點的坐標為3,

【解析】試題分析:(1)根據題意列出式子解得從而得到橢圓方程;(2)根據點點距公式得到,研究這個函數的最值即可;(3)聯立直線和橢圓得到二次方程, ,將面積比轉化為坐標之比代入即可。

解析:

(1)由題意得: 解得

所以橢圓的標準方程為

(2)設,由定點,考慮距離的平方:

,

二次函數的圖象對稱軸為,

由橢圓方程知

由題設知,

①當,即時,在時有,

解得,不符合題意,舍去;

②當,即時,由單調性知:在時有

解得(舍).

綜上可得: 的值為2,點的坐標為

(3)由(1)知, ,則直線的方程為,

聯立消去并整理得,解得

直線的方程為,同理可得

聯立解得,同理可得,

所以,

,解得,

所以

故存在直線 , 滿足題意.

練習冊系列答案
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