【題目】在平面直角坐標系中,橢圓
:
(
)的離心率為
,連接橢圓
的四個頂點所形成的四邊形面積為
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若橢圓上點
到定點
(
)的距離的最小值為1,求
的值及點
的坐標;
(3)如圖,過橢圓的下頂點作兩條互相垂直的直線,分別交橢圓
于點
,
,設直線
的斜率為
,直線
:
分別與直線
,
交于點
,
.記
,
的面積分別為
,
,是否存在直線
,使得
?若存在,求出所有直線
的方程;若不存在,說明理由.
【答案】(1)(2)
的值為2,點
的坐標為
(3)
,
【解析】試題分析:(1)根據題意列出式子解得
從而得到橢圓方程;(2)根據點點距公式得到
,研究這個函數的最值即可;(3)聯立直線和橢圓得到二次方程,
,將面積比轉化為坐標之比代入即可。
解析:
(1)由題意得: 解得
所以橢圓的標準方程為
.
(2)設,由定點
,考慮距離的平方:
則,
二次函數的圖象對稱軸為,
由橢圓方程知,
由題設知,
①當,即
時,在
時有
,
解得,不符合題意,舍去;
②當,即
時,由單調性知:在
時有
,
解得或
(舍).
綜上可得: 的值為2,點
的坐標為
.
(3)由(1)知, ,則直線
的方程為
,
聯立消去
并整理得
,解得
;
直線的方程為
,同理可得
.
聯立解得
,同理可得
,
所以,
即,解得
或
,
所以或
,
故存在直線:
,
滿足題意.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】(本題滿分8分)某班50名學生在一次數學測試中,成績全部介于50與100之間,將測試結果按如下方式分成五組:第一組[50,60),第二組[60,70),…,第五組[90,100].如圖所示是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)若成績大于或等于60且小于80,認為合格,求該班在這次數學測試中成績合格的人數;
(Ⅱ)從測試成績在[50,60)∪[90,100]內的所有學生中隨機抽取兩名同學,設其測試成績分別為m、n,求事件“|m﹣n|>10”概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的側面PAD是正三角形,底面ABCD為菱形,A點E為AD的中點,若BE=PE.
(1)求證:PB⊥BC;
(2)若∠PEB=120°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設定義在上的函數
對于任意實數
,都有
成立,且
,當
時,
.
(1)判斷的單調性,并加以證明;
(2)試問:當時,
是否有最值?如果有,求出最值;如果沒有,說明理由;
(3)解關于的不等式
,其中
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知以點A(-1,2)為圓心的圓與直線l1:x+2y+7=0相切.過點B(-2,0)的動直線l與圓A相交于M,N兩點,Q是MN的中點.
(1)求圓A的方程;
(2)當|MN|=2時,求直線l的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數f(x)滿足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2) 令g(x)=(2-2m)x-f(x).
① 若函數g(x)在x∈[0,2]上是單調函數,求實數m的取值范圍;
② 求函數g(x)在x∈[0,2]上的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】將兩塊三角板按圖甲方式拼好,其中,
,
,
,現將三角板
沿
折起,使
在平面
上的射影
恰好在
上,如圖乙.
(1)求證: ;
(2)求證: 為線段
中點;
(3)求二面角的大小的正弦值.
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