Question

【題目】已知數(shù)列中，，,.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）設(shè)，，若對任意，有恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）將，變形為，利用等比數(shù)列的定義即可證明；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可以得出，之后應(yīng)用累加法求得，一定不要忘記對首項的驗證；

（3）對相應(yīng)的項進行裂項，之后求和，再利用數(shù)列的單調(diào)性，不等式的解法即可得出結(jié)果.

（1）證明：∵，∴.

，∴，∴.

∴數(shù)列是首項、公比均為2的等比數(shù)列.

（2）∵是公比為2，首項為2的等比數(shù)列，通項，

故

，當時，符合上式，∴數(shù)列的通項公式為

（3）∵，，

∴

故，又因為單調(diào)遞增，所以的最小值為，成立，

由已知，有，解得，所以m的取值范圍為.