Question

（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，C為切點，連接AC，過點A作AD⊥CD于點D，交⊙O于點E．

（Ⅰ）證明：∠AOC=2∠ACD；（Ⅱ）證明：ABCD=ACCE．

Answer 1

詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連結(jié)BC，∵CD是⊙O的切線，C為切點，由弦切角定理知∠ACD=∠ABC，

因為∠AOC是三角形OBC的外角，要證∠AOC=2∠ACD，只要證∠OCB=∠ABC；

（Ⅱ）要證ABCD=ACCE，只需證,只要證Rt△ABC∽Rt△CED，所以只要利用圓周角和弦切角證明∠OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD即可.

試題解析： 證明：（Ⅰ）連結(jié)BC，∵CD是⊙O的切線，C為切點，

∴∠ACD=∠ABC，

∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，

又∵∠AOC=∠OCB+∠OBC，

∴∠AOC=2∠AC D．

（Ⅱ）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，

又∵AD⊥CD于D，∴∠ADC=90°，

∵CD是⊙O的切線，C為切點，OC為半徑，

∴∠OAC=∠CAE，且OC⊥CD，

∴OC∥AD，又∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD，

∴Rt△ABC∽Rt△CED，∴，

∴ABCD=ACCE．

考點：1、圓周角；2、弦切角.