Question

（1）如圖，D是Rt△ABC的斜邊AB上的中點(diǎn)，E和F分別在邊AC和BC上，且ED⊥FD，求證：EF²=AE²+BF²（EF²表示線段EF長度的平方）（嘗試用向量法證明）
（2）已知函數(shù)f（x）=x³-3x圖象上一點(diǎn)P（1，-2），過點(diǎn)P作直線l與y=f（x）圖象相切，但切點(diǎn)異于點(diǎn)P，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EF，取EF的中點(diǎn)為G，根據(jù)向量的加法法則得，又，從而有，又AC⊥BC，展開上式即得證．                    
（2）由已知可得斜率函數(shù)為f′（x）=3x²-3，進(jìn)而求出所過點(diǎn)切線的斜率，設(shè)另一切點(diǎn)為（x，y），代入點(diǎn)斜式公式，求出該點(diǎn)切線方程，再由條件計(jì)算．
解答：解：（1）連接EF，取EF的中點(diǎn)為G，
又D是Rt△ABC的斜邊AB上的中點(diǎn)，
∴=++，=++，
兩式相加，注意到，，
得，又在直角三角形EFD中，，
故，即
又AC⊥BC，展開上式即EF²=AE²+BF²
得證．                                     （6分）
（其他方法也給分，向量的代數(shù)運(yùn)算要引起學(xué)生的關(guān)注）
（2）設(shè)為（x，y）函數(shù)f（x）=x³-3x圖象上任一點(diǎn)，
易得f′（x）=3x²-3，則，
故（x，y）處切線為
又知過P（1，-2）點(diǎn)，代入解方程得：x=1（舍），
故所求直線的斜率，從而切線方程為：9x+4y-1=0（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查的是向量在幾何中的應(yīng)用、直線的點(diǎn)斜式方程的求解、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等，屬于基礎(chǔ)題．