Question

（本小題滿分12分）

如圖，四邊形ACDF為正方形，平面平面BCDE,平面平面ABC,BC=2DE,DE//BC， M為AB的中點.

（I）證明：；

（II）證明：EM//平面ACDF.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得AC⊥平面BCDE，進而得到AC⊥BC，同理可得DC⊥平面ABC，即可得到DC⊥BC，再利用面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論.

（Ⅱ）（法一）取BC的中點為N，連結(jié)MN，EN，由中位線定理，可得MN∥AC，又DE∥BC，且DE =BC= CN，可得四邊形CDEN為平行四邊形，即可得到EN∥DC，平面EMN∥平面ACD， 利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論.（法二）取AC的中點P，連結(jié)PM，PD 在△ABC中，P為AC的中點，M為AB的中點，∴PM∥BC，且PM=BC，又∵DE∥BC,DE=BC，∴，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論.

試題解析：證明：（Ⅰ）∵平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF∩平面BCDE= DC，

又正方形ACDF中，AC⊥DC，∴AC⊥平面BCDE，

∴AC⊥BC.

又∵平面ACDF⊥平面ABC，平面ACDF∩平面ABC =AC，DC⊥AC，

∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC.

又∵AC∩DC =C，∴BC⊥平面ACDF，

而AD面ACDF，

∴BC⊥AD.

（Ⅱ）（法一）如圖，取BC的中點為N，連結(jié)MN，EN．

在△ABC中，M為AB的中點，N為BC的中點，

∴MN∥AC，

又DE∥BC，且DE = 1BC= CN，

∴四邊形CDEN為平行四邊形，

∴EN∥DC，

∴平面EMN∥平面ACD，

又∵EM平面EMN，

∴EM//面ACDF．

（法二）如圖，取AC的中點P，連結(jié)PM，PD

在△ABC中，P為AC的中點，M為AB的中點，

∴PM∥BC，且PM=BC，

又∵DE∥BC,DE=BC，

∴ ．

故四邊形DEMP為平行四邊形，∴ME∥DP，

又∵DP面ACDF，∴EM∥平面ACDF.

考點：1.面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理；2.線面平行的判定定理；3.面面平行的性質(zhì)定理.