Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是弧AC的中點，BD交AC于E． 
（I）求證：CD²=DE•DB．   
（II）若CD=2O到AC的距離為1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（I）先證明△BCD∽△CED，可得，從而問題得證；   
（II）OD⊥AC，設垂足為F，求出CF=，利用DC²=CF²+DF²，建立方程，即可求得⊙O的半徑．
解答：（I）證明：連接OD，OC，由已知D是弧AC的中點，可得∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ECD
∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDC=∠EDC
∴△BCD∽△CED
∴
∴CD²=DE•DB．   
（II）解：設⊙O的半徑為R
∵D是弧AC的中點
∴OD⊥AC，設垂足為F
在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=
在直角△CFD中，DC²=CF²+DF²
∴
∴R²-R-6=0
∴（R-3）（R+2）=0
∴R=3
點評：本題是選考題，考查幾何證明選講，考查三角形的相似與圓的性質，屬于基礎題．