Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F₂的坐標是（4，0），過F₂引圓x²+y²=a²的兩條切線，切點分別為A，B，∠AOB=120°（O為坐標原點），則雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{64}-\frac{{y}^{2}}{48}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可先求得∠AOF利用OF和OA，在直角三角形中求得雙曲線的離心率．然后求解雙曲線方程．

解答 解：如圖，由題知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，又OA=a，
OF=c，
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{OA}{OF}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=2．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F₂的坐標是（4，0），可得c=4，則a=8，則b²=48，
所求雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{64}-\frac{{y}^{2}}{48}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{64}-\frac{{y}^{2}}{48}=1$．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．解題的過程中采用了數(shù)形結合的思想，使問題的解決更直觀．