Question

已知函數(shù)f（x）=

-ex+ax+b，x＜1 x2lnx-cx+c+1，x≥1

（a，b，c∈R且為常數(shù)），函數(shù)f（x）在x=0處取得極值1．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，2]上的最大值為1，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的概念及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)極值的性質(zhì)（極值是函數(shù)值，再就是極值點處的導數(shù)值為0）列出關(guān)于a，b的方程組，解之即可；
（2）先研究函數(shù)在（-∞，2]上的單調(diào)性，然后結(jié)合分類討論確定出在何處取得最大值1，列出c的方程，求解即可．

解答： 解：（1）當x＜1時，f'（x）=-e^x+a，由f'（0）=0，f（0）=1解得a=1，b=2；
（2）x＜1時f（x）=-e^x+x+1，f'（x）=-e^x+1，
當x＜0時，f'（x）＞0，函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
當0＜x＜1時，f'（x）＜0，函數(shù)y=f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間（-∞，1）上的最大值是f（0）=1
當x≥1時，f'（x）=2xlnx+x-c在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，又f（1）=1，f'（1）=1-c，f'（2）=4ln2+2-c，所以
①c≤1時，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，當x∈（1，2]時，f（x）＞1，不符合條件；
②c≥4ln2+2時，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，當x∈（1，2]時，f（x）＜1，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，2]上的最大值為1
③當1＜c＜4ln2+2時，f'（1）＜0，f'（2）＞0，存在唯一x₀∈（1，2）使得f'（x₀）=0，此時f（x）在區(qū)間（1，x₀）上遞減，在區(qū)間（x₀，2）上遞增，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上最大值為f（1）=1等價于f（2）≤1，即4ln2≤c＜4ln2+2．
綜上，實數(shù)c的取值范圍是[4ln2，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)極值的性質(zhì)的應(yīng)用，以及利用導數(shù)研究函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性的解題思路，屬于中檔題．