如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝PB＝1，AD＝，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．

(1)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)證明：無(wú)論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；

(3)當(dāng)BE等于何值時(shí)，PA與平面PDE所成角的大小為45°．

答案：
解析：

　　解：

　　(1)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面PAC．

　　證明如下：∵BE＝CE，BF＝PF∴EF∥PC

　　又EF在平面PAC外，PC在平面PAC內(nèi)，所以EF∥平面PAC

　　(2)∵PA＝AB，BF＝PF∴AF⊥PB∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC

　　又BC⊥AB∴BC⊥平面PAB而AF在平面PAB內(nèi)，∴AF⊥BC

　　∵BC、PB是平面PBC內(nèi)的兩條相交直線∴AF⊥平面PBC

　　∵無(wú)論點(diǎn)E在BC邊的何處，PE都在平面PBC內(nèi)∴PE⊥AF

　　(3)利用空間向量來(lái)解．以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz．設(shè)BE＝m，

　　則A(0，0，0)，P(0，0，1)，D(，0，0)，E(m，1，0)，

　　∴，，，

　　設(shè)平面PDE的法向量為，則，

　　∴，，令x＝1，得，

　　∵PA與平面PDE所成角的大小為45°∴，

　　解得或(舍)

　　因此，當(dāng)BE＝時(shí)，PA與平面PDE所成角的大小為45°．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點(diǎn)D到平面PCE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設(shè)PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
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CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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