Question

已知中心在原點(diǎn)O，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂的橢圓的離心率為

6

3

，焦距為2

2

，A，B是橢圓上兩點(diǎn)．
（1）若直線AB與以原點(diǎn)為圓心的圓相切，且OA⊥OB，求此圓的方程；
（2）動(dòng)點(diǎn)P滿足：

OP

=

OA

+3

OB

，直線OA與OB的斜率的乘積為-

1

3

，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專題：壓軸題,向量與圓錐曲線

分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為

6

3

，焦距為2

2

，建立方程組，求出幾何量，可得橢圓的方程，分類討論，設(shè)直線AB為：y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合OA⊥OB，可得4m²-3k²-3=0，根據(jù)直線AB與以原點(diǎn)為圓心的圓相切，即可求此圓的方程；
（2）利用

OP

=

OA

+3

OB

，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，由直線OA與OB的斜率的乘積為-

1

3

，可得

y1y2

x1x2

=-

1

3

，即x₁x₂+3y₁y₂=0，結(jié)合A，B在橢圓上，即可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，
由

c a = 6 3 2c=2 2 b2=a2-c2

，解得：

a= 3 b=1 c= 2

．
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1．
①設(shè)直線AB為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓方程得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0．
∴x1+x2=

-6km

1+3k2

，x1x2=

3(m2-1)

1+3k2

，
∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=0，
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)•

3(m2-1)

1+3k2

+km•(

-6km

1+3k2

)+m2=0，
即4m²-3k²-3=0．
∵直線AB與以原點(diǎn)為圓心的圓相切，
∴圓的半徑r=

|m|

k2+1

，則r2=

m2

k2+1

=

3

4

．
∴圓的方程為x2+y2=

3

4

；
②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=±

3

2

，滿足上述方程．
綜上，所求圓的方程為：x2+y2=

3

4

．
（2）設(shè)P（x，y），
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由：

OP

=

OA

+3

OB

，得

x=x1+3x2 y=y1+3y2

，
又直線OA與OB的斜率的乘積為-

1

3

，
∴

y1y2

x1x2

=-

1

3

，即x₁x₂+3y₁y₂=0．
∵A，B在橢圓上，
∴

x12

3

+y12=1，

x22

3

+y22=1．
聯(lián)立

x=x1+3x2 y=y1+3y2 x1x2+3y1y2=0 x12+3y12=3 x22+3y22=3

，消去x₁，x₂，y₁，y₂，得x²+3y²=30．
當(dāng)OA斜率不存在時(shí)，即x₁=0，得y₁=±1，y₂=0，x2=±

3

．
此時(shí)x=±3

3

．
同理OB斜率不存在時(shí)，x=±3

3

．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+3y²=30（x≠±3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、圓的方程，考查直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．