Question

某漁業(yè)公司年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘漁船，用于捕撈，第一年所需費(fèi)用為12萬(wàn)元，從第二年起包括各種費(fèi)用在內(nèi)，每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬(wàn)元．該船每年捕撈收入為50萬(wàn)元．
（1）該船幾年開(kāi)始獲利？
（2）該船經(jīng)過(guò)若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利最大時(shí)，以26萬(wàn)元價(jià)格賣(mài)出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大時(shí)，以8萬(wàn)元賣(mài)出．問(wèn)那種方案合算？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先設(shè)n年后盈利額為y元，利用數(shù)列的求和公式即可求得y的表達(dá)式，最后令y＞0，解得n的取值范圍從而解決問(wèn)題；
（2）①先求出平均盈利的函數(shù)表達(dá)式，再利用基本不等式求其最大值，從而得出盈利總額；②先求出平均盈利的函數(shù)表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求其最大值，從而得出盈利總額；最后比較兩種情況的盈利額的情況即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）設(shè)n年后開(kāi)始贏利，則n年收入為50n，n共需要費(fèi)用為12+16+…+[12+4（n-1）]，由等差數(shù)列求和可得：2n²+10n．
若開(kāi)始贏利，則有：50n＞2n²+10n+98，
即：n²-20n+49＜0，
解得10-

51

＜n＜10+

51

，
又因?yàn)閚∈N^*，所以n=3，4，5，…，17，即從第三年開(kāi)始盈利．…（5分）
（2）①設(shè)年平均盈利為u，則u=

50n-2n2-10n-98

n

=40-2(n+

49

n

)≤40-4

49

=12，
當(dāng)且僅當(dāng)n=

49

n

時(shí)取“=”，即n=7年時(shí)平均盈利最多，
這時(shí)共獲利12×7+26=110（萬(wàn)元）；      …（8分）
②設(shè)盈利總額為v，則v=50n-2n²-10n-98=-2（n²-20n+49）=-2（n-10）²+102，
所以當(dāng)n=10時(shí)，贏利總額最大值，這時(shí)共可獲利102+8=110萬(wàn)元． …（11分）
比較①②可知，方案①花了7年可獲利110萬(wàn)元，而方案②花10年可獲利110萬(wàn)元，
所以方案①合算．           …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式的運(yùn)用，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題．