解:(1)a=3時f(x)=x
3+2x
2f′(x)=3x
2+4x
設(shè)切點(m,m
3+2m
2)(m>0),則在切點處的切線的斜率為k=3m
2+4m
∴切線方程y-m
3-2m
2=(3m
2+4m)(x-m)
∵過(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4458.png)
,0)
∴-m
3-2m
2=(3m
2+4m)(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4458.png)
-m)即7m
3+m
2-8m=0
m=0(舍)或m=1或m=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/524.png)
∴所求的切線方程7x-y-4=0
(2)f(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
ax
3+2x
2∴f′(x)=ax
2+4x=x(ax+4)
因a>0,f′(x)>0,x<-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2221.png)
或x>0,f′(x)<0,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2221.png)
<x<0
y=f(x)在x<-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2221.png)
或x>0上單調(diào)增,在-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2221.png)
<x<0上單調(diào)減.
當(dāng)-1≤-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2221.png)
即a≥4時y=f(x)在[-1,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2221.png)
],[0,1]上單調(diào)增,在[-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2221.png)
,0]上單調(diào)減,f(x)的最小值在x=-1或x=0時取到,
f(0)=0不符合題意,f(-1)=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
a+2,a=12
當(dāng)-
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<-1即0<a<4時y=f(x)在[0,1]上單調(diào)增,在[-1,0]上單調(diào)減
∴y=f(x)的最小值在x=0取到
而f(0)=0≠-2(舍)
∴a=12.
分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在x處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率,建立等式關(guān)系,求出切點的橫坐標(biāo),代入函數(shù)關(guān)系式,求出切點坐標(biāo),最后利用點斜式方程寫出切線方程即可.
(2)先求導(dǎo)f′(x)=ax
2+4x=x(ax+4),再對a進(jìn)行分類討論:當(dāng)-1≤-
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,當(dāng)-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2221.png)
<-1;分別求得f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值,從而列出關(guān)于a的方程即可求得a=12.
點評:本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.