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8.已知橢圓Ex2a2+y2b2=1ab0的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為42,點(diǎn)A,B,C在橢圓E上,其中點(diǎn)A是橢圓E的右頂點(diǎn),直線BC過(guò)原點(diǎn)O,點(diǎn)B在第一象限,且|BC|=2|AB|,cosABC=15
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)與x軸不垂直的直線l與圓x2+y2=1相切,且與橢圓E交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N,求△MON的面積的取值范圍.

分析 (I)由題意可得2a=42,解得a.由點(diǎn)A是橢圓E的右頂點(diǎn),直線BC過(guò)原點(diǎn)O,點(diǎn)B在第一象限,且|BC|=2|AB|,可得|BO|=|AB|,
cosABC=15,|OA|=a=22,利用余弦定理解得|BO|.可得B23,代入橢圓方程即可得出.
(II)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),設(shè)直線L的方程為:y=kx+m.與橢圓方程聯(lián)立化為(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,△>0,化為8k2+4>m2.利用根與系數(shù)的關(guān)系可得則|MN|=1+k2[x1+x224x1x2].由直線l與圓x2+y2=1相切,可得|m|1+k2=1,化為m2=1+k2,利用S△MON=12|MN|,通過(guò)換元再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

解答 解:(I)∵2a=42,∴a=22
∵點(diǎn)A是橢圓E的右頂點(diǎn),直線BC過(guò)原點(diǎn)O,點(diǎn)B在第一象限,且|BC|=2|AB|,
∴|BO|=|AB|,
cosABC=15,|OA|=a=22,
∴|OA|2=|BO|2+|AB|2-2|BO||AB|cos∠ABO,
∴8=2|BO|2115,解得|BO|=5
∴B23,代入橢圓方程可得:28+32=1=1,解得b2=4.
∴橢圓E的方程為x28+y24=1.
(II)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),設(shè)直線l的方程為:y=kx+m.
聯(lián)立{y=kx+mx2+2y2=8,化為(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
∵直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),∴△>0,化為8k2+4>m2
∴x1+x2=4km1+2k2,x1x2=2m281+2k2,
則|MN|=1+k2[x1+x224x1x2]=1+k24km1+2k224×2m281+2k2=221+k28k2m2+41+2k2
∵直線l與圓x2+y2=1相切,∴|m|1+k2=1,化為m2=1+k2,
∴|MN|=221+k27k2+31+2k2
則S△MON=12|MN|×1=21+k27k2+31+2k2,
令1+2k2=t≥1,則k2=t12代入上式可得:221t32+16,
∵t≥1,∴01t1,∴142<S△MON6
即△MON的面積的取值范圍是1426]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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