Question

已知函數(shù)f（x）=[ax²+（a-1）²x-a²+3a-1]e^x（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（2，3）上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=0，設g（x）=

f(x)

ex

+lnx-x，斜率為k的直線與曲線y=g（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）兩點，證明：（x₁+x₂）k＞2．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：分類討論,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ） 首先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)f'（x），對a討論，分a≥0，a＜0①-1＜a＜0，②a=-1，③a＜-1，分別求出單調區(qū)間，再求并集；
（Ⅱ）化簡a=0時的g（x），由兩點的斜率公式寫出k，運用分析法證（x₁+x₂）k＞2，注意運用對數(shù)的運算法則和同時除以x₁的變形，再令

x2

x1

=x，構造函數(shù)h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），求出導數(shù)，求出單調區(qū)間，運用單調性說明h（x）＞0成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的導數(shù)f'（x）=[2ax+（a-1）²]•e^x+[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]•e^x
=[ax²+（a²+1）x+a]•e^x，
當a≥0時，∵x∈（2，3），∴f'（x）＞0，∴f（x）在（2，3）上單調遞增，
當a＜0時，∵f（x）在（2，3）上單調遞增，∴f'（x）=a（x+a）（x+

1

a

）•e^x≥0，
①當-1＜a＜0時，解得-a≤x≤-

1

a

，由題意知（2，3）⊆[-a，-

1

a

]，得-

1

3

≤a＜0，
②當a=-1時，f'（x）=-（x-1）²•e^x≤0，不合題意，舍去，
③當a＜-1時，解得-

1

a

≤x≤-a，則由題意知（2，3）⊆[--

1

a

，-a]，得a≤-3，
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3]∪[-

1

3

，+∞）；
（Ⅱ）a=0時，g（x）=

f(x)

ex

+lnx-x=lnx-1，k=

lnx2-lnx1

x2-x1

，
∵x₂-x₁＞0，要證（x₂+x₁）k＞2，即證（x₁+x₂）

lnx2-lnx1

x2-x1

＞2，
即證ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

＞0（

x2

x1

＞1），
設h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），h'（x）=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上單調遞增，h（x）＞h（1）=0，
∴l(xiāng)n

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

＞0（

x2

x1

＞1）成立，
即（x₁+x₂）k＞2成立．

點評：本題是導數(shù)在函數(shù)中的綜合運用，考查應用導數(shù)求單調區(qū)間，運用單調性解決不等式問題，同時考查分類討論的思想方法以及構造函數(shù)運用單調性靈活解決問題的能力．